Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({\log _4}2x + {\log _6}2x \ge 1\)\( + {\log _4}2x.{\log _6}2x\) là

Bước 1: Đặt \({\log _4}2x = a;{\log _6}2x = b\)

TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\)

Đặt \({\log _4}2x = a;{\log _6}2x = b\)

Bước 2: Giải bất phương trình

BPT trở thành:

\(\begin{array}{l}a + b \ge 1 + ab \Leftrightarrow a - 1 + b - ab \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right) - b\left( {a - 1} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) \le 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{{\log }_4}2x - 1} \right)\left( {{{\log }_6}2x - 1} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow {\log _4}\dfrac{{2x}}{4}.{\log _6}\dfrac{{2x}}{6} \le 0\\ \Leftrightarrow {\log _4}\dfrac{x}{2}.{\log _6}\dfrac{x}{3} \le 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{\log _4}\dfrac{x}{2} \ge 0\\{\log _6}\dfrac{x}{3} \le 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{\log _4}\dfrac{x}{2} \le 0\\{\log _6}\dfrac{x}{3} \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{2} \ge 1\\\dfrac{x}{3} \le 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{2} \le 1\\\dfrac{x}{3} \ge 1\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 \le x \le 3\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\x \ge 3\end{array} \right.\left( L \right)\end{array} \right.\)

Vậy có 2 nghiệm nguyên của bất phương trình.