Cho S là tập nghiệm của bất phương trình \({\log _5}\left( {{x^2} + 2x + 3} \right) > {\log _5}\left( {{x^2} + 4x + 2 + m} \right) - 1\). Số giá trị nguyên của tham số m để \(\left( {1;2} \right) \subset S\) là

Bước 1: Điều kiện

\({x^2} + 4x + 2 + m > 0\)

Bước 2:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _5}\left( {{x^2} + 2x + 3} \right) > {\log _5}\left( {{x^2} + 4x + 2 + m} \right) - 1\\ \Leftrightarrow {\log _5}\left( {{x^2} + 2x + 3} \right) + {\log _5}5 > {\log _5}\left( {{x^2} + 4x + 2 + m} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _5}\left[ {5\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)} \right] > {\log _5}\left( {{x^2} + 4x + 2 + m} \right)\\ \Leftrightarrow 5\left( {{x^2} + 2x + 3} \right) > {x^2} + 4x + 2 + m\\ \Leftrightarrow 4{x^2} + 6x + 13 - m > 0\end{array}\)

Bước 3:

Vì \(\left( {1;2} \right) \subset S\) nên bài toán trở thành tìm m nguyên để hệ bất phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 4x + 2 + m > 0\\4{x^2} + 6x + 13 - m > 0\end{array} \right.\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( {1;2} \right)\)

Tương đương với hai bất phương trình: \({x^2} + 4x + 2 + m > 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( {1;2} \right)\) và bất phương trình \(4{x^2} + 6x + 13 - m > 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( {1;2} \right)\)

Ta xét \({x^2} + 4x + 2 + m > 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( {1;2} \right)\)

\( \Leftrightarrow m >  - {x^2} - 4x - 2\forall x \in \left( {1;2} \right)\)

\( \Leftrightarrow m > \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left( { - {x^2} - 4x - 2} \right)\)

\(m >  - 7\)

Tương tự với \(4{x^2} + 6x + 13 - m > 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( {1;2} \right)\)

Ta có \(m < 4{x^2} + 6x + 13\forall x \in \left( {1;2} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow m < \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left( {4{x^2} + 6x + 13} \right)\\ \Leftrightarrow m < 23\end{array}\)

Vậy \( - 7 < m < 23\)

Vì m nguyên nên m là các số nguyên thỏa mãn \( - 6 \le m \le 22\), tức là có 22-(-6)+1=29 giá trị của m thỏa mãn bài toán.