Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz, cho 4 điểm A(1;5;4), B(-3;1;4),  C(5;4;1), D(-2;1;-3). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng

Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB, BC, CD.

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 4; - 4;0} \right)$; $\overrightarrow {BC}  = \left( {8;3; - 3} \right)$; $\overrightarrow {CD}  = \left( { - 7; - 3; - 4} \right)$

Trung điểm của AB là: M(-1;3;4)

Trung điểm của BC là: $N\left( {1;\dfrac{5}{2};\dfrac{5}{2}} \right)$

Trung điểm của AB là: $P\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{5}{2}; - 1} \right)$

Phương trình mặt phẳng trung trực của AB:

$\left( {x + 1} \right) + \left( {y - 3} \right) = 0$ $\Leftrightarrow x + y - 2 = 0$

Phương trình mặt phẳng trung trực của BC:

$\begin{array}{l}8\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - \dfrac{5}{2}} \right) - 3\left( {z - \dfrac{5}{2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 8x + 3y - 3z - 8 = 0\end{array}$

Phương trình mặt phẳng trung trực của CD:

$\begin{array}{l}7\left( {x - \dfrac{3}{2}} \right) + 3\left( {y - \dfrac{5}{2}} \right) + 4\left( {z + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 7x + 3y + 4z - 14 = 0\end{array}$

Bước 2: Khi đó giao điểm I của 3 mặt phẳng là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, tìm bán kính IA.

Gọi I là giao điểm của 3 mặt phẳng trung trực vừa tìm được

Khi đó ta có tọa độ của I thỏa mãn hệ $\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 = 0\\8x + 3y - 3z - 8 = 0\\7x + 3y + 4z - 14 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 1\end{array} \right.$

=> $I\left( {1;1;1} \right)$

$=  > IA = \sqrt {{0^2} + {4^2} + {3^2}}  = 5$

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng 5.