Số nghiệm của phương trình $\sqrt[3]{{x + 24}} + \sqrt {12 - x}  = 6$là:

Điều kiện: $12 - x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 12$

Đặt $\sqrt[3]{{x + 24}} = u;\,\,\sqrt {12 - x}  = v \Rightarrow $Hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}u + v = 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{u^3} + {v^2} = 36\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Từ $(1)\Rightarrow v = 6 – u.$ Thay vào $(2) $ ta được:

${u^3} + {\left( {6 - u} \right)^2} = 36 \Leftrightarrow {u^3} + {u^2} - 12u = 0 \Leftrightarrow u\left( {{u^2} + u - 12} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 0\\u = 3\\u =  - 4\end{array} \right.$

+) Với $u = 0 $ $\Leftrightarrow \sqrt[3]{{x + 24}} = 0 $ $\Leftrightarrow x =  - 24\,\,\,\left( {tm} \right)$

+) Với $u = 3$ $ \Leftrightarrow \sqrt[3]{{x + 24}} = 3 $ $\Leftrightarrow x + 24 = 27 $ $\Leftrightarrow x = 3\,\,\,\left( {tm} \right)$

+) Với $u =  - 4 \Leftrightarrow \sqrt[3]{{x + 24}} =  - 4 \Leftrightarrow x + 24 =  - 64 \Leftrightarrow x =  - 88\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)$

Vậy phương trình có $3$  nghiệm.