Tích các nghiệm của phương trình $\sqrt {x + 2} + \sqrt {5 - 2{\rm{x}}} = \sqrt {2{\rm{x}}} + \sqrt {7 - 3{\rm{x}}} $ bằng:
Trả lời bởi giáo viên
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 0\\5 - 2x \ge 0\\2{\rm{x}} \ge 0\\7 - 3{\rm{x}} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\x \le \dfrac{5}{2}\\x \ge 0\\x \le \dfrac{7}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le x \le \dfrac{7}{3}$
Phương trình $\Leftrightarrow{\left( {\sqrt {x + 2} + \sqrt {5 - 2{\rm{x}}} } \right)^2} = {\left( {\sqrt {2{\rm{x}}} + \sqrt {7 - 3{\rm{x}}} } \right)^2}$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x + 2 + 5 - 2{\rm{x}} + 2\sqrt {(x + 2)(5 - 2{\rm{x}})} = 2{\rm{x}} + 7 - 3{\rm{x}} + 2\sqrt {2{\rm{x}}\left( {7 - 3{\rm{x}}} \right)} \\ \Leftrightarrow 2\sqrt {(x + 2)(5 - 2{\rm{x}})} = 2\sqrt {2{\rm{x}}\left( {7 - 3{\rm{x}}} \right)} \\ \Leftrightarrow (x + 2)(5 - 2{\rm{x}}) = 2{\rm{x}}\left( {7 - 3{\rm{x}}} \right)\\ \Leftrightarrow - 2{{\rm{x}}^2} + x + 10 = 14{\rm{x}} - 6{{\rm{x}}^2}\\ \Leftrightarrow - 4{{\rm{x}}^2} + 13{\rm{x}} - 10 = 0\end{array}$
Do đó tích các nghiệm của phương trình là $\dfrac{{ - 10}}{{ - 4}} = \dfrac{5}{2}$
Hướng dẫn giải:
+ Phương trình có dạng: $\sqrt {f(x)} + \sqrt {g(x)} = \sqrt {h(x)} + \sqrt {k(x)} $, điều kiện là $\left\{ \begin{array}{l}f(x) \ge 0\\g(x) \ge 0\\h(x) \ge 0\\k(x) \ge 0\end{array} \right.$
+ Khi đó: $\sqrt {f(x)} + \sqrt {g(x)} = \sqrt {h(x)} + \sqrt {k(x)} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {f(x)} + \sqrt {g(x)} } \right)^2} = {\left( {\sqrt {h(x)} + \sqrt {k(x)} } \right)^2}$
Giải phương trình ta tìm được $x$.