Phương trình $2\sqrt 3 {\cos ^2}x + 6\sin x\cos x = 3 + \sqrt 3$ có mấy họ nghiệm?

Trường hợp 1: $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$. Khi đó ${\sin ^2}x = 1$

Thay vào phương trình ta có: $2\sqrt 3 .0 + 6.0 = 3 + \sqrt 3$(Vô lý)

$\Rightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$ không là nghiệm của phương trình.

Trường hợp 2: $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$. Chia cả 2 vế của phương trình cho ${\cos ^2}x$ ta được:

$\begin{array}{l}2\sqrt 3  + 6\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} = \dfrac{{3 + \sqrt 3 }}{{{{\cos }^2}x}}\\ \Leftrightarrow 2\sqrt 3  + 6\tan x = \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {3 + \sqrt 3 } \right){\tan ^2}x - 6\tan x + 3 - \sqrt 3  = 0\end{array}$

Đặt $\tan x = t$ khi đó phương trình có dạng

$\left( {3 + \sqrt 3 } \right){t^2} - 6t + 3 - \sqrt 3  = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 2 - \sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\tan x = 2 - \sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan \left( {2 - \sqrt 3 } \right) + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)$

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm.