Nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình $\left( {x - 1} \right)\sqrt {x\left( {x + 2} \right)}  \ge 0$ là

Điều kiện: \(x\left( {x + 2} \right) \ge 0\)

Đặt $f\left( x \right) = x\left( {x + 2} \right).$

Phương trình $x = 0$ và $x + 2 = 0 \Leftrightarrow x =  - \,2.$

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng $f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \le  - \,2\end{array} \right..$

- Nếu \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 2\end{array} \right.\) thì bất phương trình trở thành \(0 \ge 0\) (đúng).

- Nếu \(\left[ \begin{array}{l}x > 0\\x <  - 2\end{array} \right.\) thì \(f\left( x \right) > 0\) nên bất phương trình tương đương \(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\).

Kết hợp \(\left[ \begin{array}{l}x > 0\\x <  - 2\end{array} \right.\) ta được \(x \ge 1\).

Vậy bất phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ { - 2} \right\} \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {1; + \infty } \right)\).

Do đó nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là \(x =  - 2\).