Câu hỏi:
2 năm trước
Nếu \(\int\limits_0^a {\left( {\cos x + \sin x} \right)dx} = 0\left( {0 < a < 2\pi } \right)\) thì giá trị của \(a\) là:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Ta có:
\(\int\limits_0^a {\left( {\cos x + \sin x} \right)dx} {\rm{\;}} = 0\) \( \Leftrightarrow \left. {\sin x} \right|_0^a - \left. {\cos x} \right|_0^a = 0\) \( \Leftrightarrow \sin a - \cos a + 1 = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin a - \cos a = - 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}.\sin a - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}.\cos a = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \sin a.\cos \dfrac{\pi }{4} - \cos a.\sin \dfrac{\pi }{4} = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \sin \left( {a - \dfrac{\pi }{4}} \right) = {\rm{\;}} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)
\( \Leftrightarrow \sin \left( {a - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {\dfrac{{ - \pi }}{4}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a - \dfrac{\pi }{4} = {\rm{\;}} - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi }\\{a - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right.\)
$\Leftrightarrow a = \dfrac{{3\pi }}{2}\left( {0 < a < 2\pi } \right)$
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Sử dụng công thức nguyên hàm hàm lượng giác \(\int {\sin xdx} = - \cos x + C;\int {\cos xdx} = \sin x + C\)
Bước 2: Nhân cả hai vế với $\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$ và giải phương trình lượng giác bậc nhất đối với sin và cos (ẩn a).
Bước 3: Dựa vào điều kiện để kết luận nghiệm.
