Một hình hộp chữ nhật có đường chéo bằng $3\,dm$ , chiều cao $2\,dm$ , diện tích xung quanh bằng  $12$\(d{m^2}\). Tính thể tích của hình hộp chữ nhật.

Hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AC' = 3\,dm;\,CC' = 2\,dm\) .

Xét tam giác \(ACC'\) vuông tại \(C\) , theo định lý Pytago ta có \(A{C^2} = C'{A^2} - C'{C^2} = {3^2} - {2^2} = 5\) .

Vì diện tích xung quanh là \(12\,d{m^2}\)  nên chu vi đáy bằng $12:2 = 6\left( {dm} \right)$

Đặt $AD = a,{\rm{ }}DC = b$

Vì chu vi đáy là \(6\,dm \) $\Rightarrow 2\left( {a + b} \right) = 6 \Leftrightarrow a + b = 3$  (1) và ${a^2} + {b^2} = A{C^2} = 5$ (2)

(định lý Pyatgo cho tam giác vuông \(ADC\) ) 

Từ (1) và (2) suy ra \({a^2} + (3 - a)^2 = 5\)

Rút gọn được \({a^2} - 3a + 2 = 0\) hay \((a - 1)(a - 2) = 0\)

Giả sử \(a \ge b\) thì  ta tìm được a = 2 suy ra b = 1.

Thể tích của hình hộp chữ nhật bằng \(2.1.2 = 4\,(d{m^3}).\)