Câu hỏi:
2 năm trước
Mặt Trăng quay \(13\) vòng quanh Trái Đất trong 1 năm. Khoảng cách giữa Trái Đất và Mặt Trời gấp \(390\) lần khoảng cách giữa Trái Đất và Mặt Trăng. Tính tỉ số khối lượng của Mặt Trời và Trái Đất? Biết Trái Đất quay 1 vòng quanh Mặt Trời mất 1 năm.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Chu kì chuyển động của Mặt Trăng quanh Trái Đất là : \({T_1} = \dfrac{{365}}{{13}} = 28\)(ngày)
Chu kì chuyển động của Trái Đất quanh Mặt Trời là:\({T_2} = 365\)( ngày)
Khi Mặt Trăng chuyển động tròn quanh Trái Đất thì lực hấp dẫn giữa Mặt Trăng và Trái Đất đóng vai trò là lực hướng tâm, nên:
\({F_{hd}} = {F_{ht}} \Leftrightarrow G\dfrac{{mM}}{{{r^2}}} = m\dfrac{{{v^2}}}{r} \Leftrightarrow \dfrac{{GM}}{r} = {v^2}\)
Mà: \(v = \omega r = \dfrac{{2\pi }}{T}r\)
\( \leftrightarrow \dfrac{{GM}}{{{r_1}}} = \dfrac{{4{\pi ^2}}}{{{T_1}^2}}{r_1}^2 \to M = \dfrac{{4{\pi ^2}}}{{{T_1}^2G}}{r_1}^3\)
Khi Trái Đất chuyển động tròn quanh Mặt Trời thì lực hấp dẫn giữa Trái Đất và Mặt Trời đóng vai trò là lực hướng tâm, nên:
\({F_{hd}} = {F_{ht}} \Leftrightarrow G\dfrac{{mM}}{{{r^2}}} = m\dfrac{{{v^2}}}{r} \Leftrightarrow \dfrac{{GM}}{r} = {v^2}\)
Mà: \(v = \omega r = \dfrac{{2\pi }}{T}r\)
\( \leftrightarrow \dfrac{{G{M_{mt}}}}{{{r_2}}} = \dfrac{{4{\pi ^2}}}{{{T_2}^2}}{r_2}^2 \to {M_{mt}} = \dfrac{{4{\pi ^2}}}{{{T_2}^2G}}{r_2}^3\)
Tỉ số khối lượng của Mặt Trời và Trái Đất
\(\dfrac{{{M_{mt}}}}{M} = \dfrac{{\dfrac{{4{\pi ^2}}}{{{T_2}^2G}}{r_2}^3}}{{\dfrac{{4{\pi ^2}}}{{{T_1}^2G}}{r_1}^3}} = \dfrac{{{T_1}^2{r_2}^3}}{{{T_2}^2{r_1}^3}} = {(\dfrac{{{T_1}}}{{{T_2}}})^2}.{(\dfrac{{{r_2}}}{{{r_1}}})^3} = {(\dfrac{{28}}{{365}})^2}.{(390)^3} \approx {350.10^3}\)(lần)
Hướng dẫn giải:
+ Vận dụng biểu thức tính lực hấp dẫn : \({F_{h{\rm{d}}}} = G\dfrac{{{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}}\)
+ Vận dụng biểu thức tính lực hướng tâm: \({F_{ht}} = m\dfrac{{{v^2}}}{r}\)
+ Vận dụng biểu thức tính vận tốc dài: \(v = \omega r\)
