Gọi \(S\) là tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {5{x^2} + 4x}  - \sqrt {{x^2} - 3x - 18}  = 5\sqrt x \). Số phần tử của \(S\) là:

\(\sqrt {5{x^2} + 4x}  - \sqrt {{x^2} - 3x - 18}  = 5\sqrt x \,\,\,\left( 1 \right)\)

(ĐK : \(\left\{ \begin{array}{l}5{x^2} + 4x \ge 0\\{x^2} - 3x - 18 \ge 0\\x \ge 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0,x \le  - \dfrac{4}{5}\\x \ge 6,x \le  - 3\\x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 6\))

Khi đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {5{x^2} + 4x}  = 5\sqrt x  + \sqrt {{x^2} - 3x - 18} \)

\( \Leftrightarrow 5{x^2} + 4x = 25x + {x^2} - 3x - 18 + 10\sqrt x .\sqrt {{x^2} - 3x - 18} \)

\( \Leftrightarrow 4{x^2} - 18x + 18 = 10\sqrt {x\left( {{x^2} - 3x - 18} \right)} \)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 9x + 9 = 5\sqrt {x\left( {x - 6} \right)\left( {x + 3} \right)} \)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 12x + 3x + 9 = 5\sqrt {\left( {{x^2} - 6x} \right)\left( {x + 3} \right)} \)

\( \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} - 6x} \right) + 3\left( {x + 3} \right) = 5\sqrt {{x^2} - 6x} .\sqrt {x + 3} \)

Dễ thấy \(x = 6\) không là nghiệm phương trình nên với \(x > 6\) ta chia cả hai vế cho \({x^2} - 6x > 0\) ta được :

\(2 + 3.\dfrac{{x + 3}}{{{x^2} - 6x}} = 5.\dfrac{{\sqrt {x + 3} }}{{\sqrt {{x^2} - 6x} }}\,\,\left( 2 \right)\)

Đặt \(\dfrac{{\sqrt {x + 3} }}{{\sqrt {{x^2} - 6x} }} = t > 0\) thì \(\left( 2 \right)\) trở thành \(3{t^2} - 5t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\left( {TM} \right)\\t = \dfrac{2}{3}\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)

+ Nếu \(t = 1\) thì \(\sqrt {x + 3}  = \sqrt {{x^2} - 6x} \)\( \Leftrightarrow x + 3 = {x^2} - 6x\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 7x - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{7 + \sqrt {61} }}{2}\left( {TM} \right)\\x = \dfrac{{7 - \sqrt {61} }}{2}\left( L \right)\end{array} \right.\)

+ Nếu $t = \dfrac{2}{3}$ thì \(\sqrt {x + 3}  = \dfrac{2}{3}\sqrt {{x^2} - 6x} \) \( \Leftrightarrow x + 3 = \dfrac{4}{9}\left( {{x^2} - 6x} \right)\) \( \Leftrightarrow 4{x^2} - 33x - 27 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 9\left( {TM} \right)\\x =  - \dfrac{3}{4}\left( L \right)\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm \(S = \left\{ {\dfrac{{7 + \sqrt {61} }}{2};9} \right\}\) hay \(S\) có \(2\) phần tử.