Giải phương trình ${\log _2}\left( {{2^x} - 1} \right).{\log _4}\left( {{2^{x + 1}} - 2} \right) = 1$. Ta có nghiệm:

Phương trình đã cho tương đương với:

$\begin{array}{l}{\log _2}({2^x} - 1)[\log _{4}2 + \log _{4}({2^x} - 1)] = 1 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{2^x} - 1} \right)\left[ {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}{{\log }_2}\left( {{2^x} - 1} \right)} \right] = 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{2^x} - 1} \right)\left[ {1 + {{\log }_2}\left( {{2^x} - 1} \right)} \right] = 2 \Leftrightarrow \log _2^2\left( {{2^x} - 1} \right) + {\log _2}\left( {{2^x} - 1} \right) - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}\left( {{2^x} - 1} \right) = 1\\{\log _2}\left( {{2^x} - 1} \right) =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} - 1 = 2\\{2^x} - 1 = \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} = 3\\{2^x} = \dfrac{5}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\log _2}3\\x = {\log _2}\dfrac{5}{4}\end{array} \right.\end{array}$