Giải bài toán dân gian sau:

Em đi chợ phiên

Anh gửi một tiền

Cam, thanh yên, quýt

Không nhiều thì ít

Mua đủ một trăm

Cam ba đồng một

Quýt một đồng năm

Thanh yên tươi tốt

Năm đồng một trái.

Số cam, quýt, thanh yên đã mua lần lượt là bao nhiêu, biết một tiền bằng 60 đồng?

Gọi số cam, quýt, thanh yên đã mua lần lượt là x, y, z (quả) (x, y, z ∈ ℕ^*).

Theo đề bài, ta có hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + \dfrac{y}{5} + 5z = 60}\\{x + y + z = 100}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{15x + y + 25z = 300}\\{x + y + z = 100}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{15x + y + 25z = 300}\\{14y + 10z = - 1200}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{15x + y + 25z = 300}\\{ - 7y + 5z = - 600}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{15x + \dfrac{{5z + 600}}{7} + 25z = 300}\\{y = \dfrac{{5z + 600}}{7}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{100 - 12z}}{7}}\\{y = \dfrac{{5z + 600}}{7}}\end{array}\,\,\,\left( * \right)} \right.} \right.\end{array}\)

Vì $x > 0$ nên $100 – 12z > 0$ \( \Rightarrow z{\rm{ }} < \dfrac{{100}}{{12}} < 9 \Rightarrow z \in \left\{ {1;2;..;8} \right\}.\)

Thay lần lượt các giá trị này của z vào phương trình thứ hai của (*) ta thấy chỉ có $z = 6$ thoả mãn (vì y ∈ ℕ^*).

=> z = 6, suy ra y = 90, x = 4.

Vậy số cam, quýt, thanh yên đã mua lần lượt là 4, 90 và 6 quả.