Giải bài toán cổ sau:

Trăm trâu, trăm cỏ

Trâu đứng ăn năm

Trâu nằm ăn ba

Lụ khụ trâu già

Ba con một bó

Số trường hợp thỏa mãn bài toán là:

Gọi số trâu đứng, trâu nằm, trâu già lần lượt là x, y, z (x, y, z là số nguyên dương).

Theo đề bài ta có hệ phương trình: 

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + z = 100}\\{5x + 3y + \dfrac{1}{3}z = 100}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 100 - z}\\{15x + 9y = 300 - z}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{ - 300 + 4z}}{3}}\\{y = \dfrac{{600 - 7z}}{3}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{4z}}{3} - 100}\\{y = 200 - \dfrac{{7z}}{3}}\end{array}} \right.\end{array}\)

Vì \(x > 0\) nên \(\dfrac{{4z}}{3} - 100 > 0 \Rightarrow z > 75\)

   \(y > 0\) nên \(200 - \dfrac{{7z}}{3} > 0 \Rightarrow z < 85\).

Mà \(z\) là số nguyên dương nên \(z \in \left\{ {76;77;...;84} \right\}\).

Lại có \(x\) là số nguyên dương nên \(\dfrac{{4z}}{3} - 100\) là số nguyên, suy ra \(z \vdots 3\)

\( \Rightarrow \left\{ {78;81;84} \right\}\).

+) Với z = 78 thì x = 4, y = 18.

+) Với z = 81 thì x = 8, y = 11.

+) Với z = 84 thì x = 12, y = 4.

Vậy có ba trường hợp thỏa mãn đề bài:

-Số trâu đứng là 4 con, trâu nằm là 18 con và trâu già là 78 con.

-Số trâu đứng là 8 con, trâu nằm là 11 con và trâu già là 81 con.

-Số trâu đứng là 12 con, trâu nằm là 4 con và trâu già là 84 con.