Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Bước 1:
Ta có \(y = 2{\cos ^2}x + \sin 2x = 2.\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} + \sin 2x\)\( = 1 + \cos 2x + \sin 2x\)
Bước 2:
\( \Rightarrow \dfrac{y}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\cos 2x + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\sin 2x\) \( = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \cos 2x\cos \dfrac{\pi }{4} + \sin 2x.\sin \dfrac{\pi }{4}\) \( = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\)
Bước 3:
Ta có \(\cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \ge - 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \ge - 1 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Hay \(\dfrac{y}{{\sqrt 2 }} \ge - 1 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow y \ge 1 - \sqrt 2 \)
Bước 4:
Dấu = xảy ra khi \(\cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = - 1 \Leftrightarrow 2x - \dfrac{\pi }{4} = - \pi + k2\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 3\pi }}{8} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Bước 5:
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(y\) là \(1 - \sqrt 2 \).
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Sử dụng công thức hạ bậc \({\cos ^2}x = \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}\)
Bước 2: Sử dụng công thức \(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a.\cos b - \sin \,a.sinb\) để tính \(\dfrac{y}{{\sqrt 2 }}\)
Bước 3: Sử dụng \( - 1 \le \cos x \le 1\) để đánh giá , từ đó đánh giá \(y\).
Bước 4: Xét dấu “=” xảy ra \( \to \) Tìm x.
Bước 5: Kết luận
