Xét sự biến thiên của hàm số \(y = \sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1} \) trên tập xác định của nó. Áp dụng tìm số nghiệm của phương trình \(\sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}  = 3\)

ĐKXĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x + 5 \ge 0}\\{x - 1 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge  - \dfrac{5}{4}}\\{x \ge 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x \ge 1\)

Suy ra TXĐ: ${\rm{D}} = \left[ {1; + \infty } \right)$

Với mọi ${x_1},\,{x_2} \in \left[ {1; + \infty } \right),\,\,{x_1} \ne {x_2}$ ta có

\(\begin{array}{l}f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = \sqrt {4{x_2} + 5}  + \sqrt {{x_2} - 1}  - \sqrt {4{x_1} + 5}  - \sqrt {{x_1} - 1} \\ = \dfrac{{4\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{\sqrt {4{x_2} + 5}  + \sqrt {4{x_1} + 5} }} + \dfrac{{{x_2} - {x_1}}}{{\sqrt {{x_2} - 1}  + \sqrt {{x_1} - 1} }}\\ = \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {\dfrac{4}{{\sqrt {4{x_2} + 5}  + \sqrt {4{x_1} + 5} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x_2} - 1}  + \sqrt {{x_1} - 1} }}} \right)\end{array}\)

Suy ra \(\dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{4}{{\sqrt {4{x_2} + 5}  + \sqrt {4{x_1} + 5} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x_2} - 1}  + \sqrt {{x_1} - 1} }} > 0\)

Nên hàm số \(y = \sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1} \) đồng biến trên khoảng $\left[ {1; + \infty } \right)$.

Vì hàm số đã cho đồng biến trên $\left[ {1; + \infty } \right)$ nên

Nếu \(x > 1 \Rightarrow f\left( x \right) > f\left( 1 \right)\) hay  \(\sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}  > 3\)

Suy ra phương trình \(\sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}  = 3\) vô nghiệm

Nếu $x < 1 \Rightarrow f\left( x \right) < f\left( 1 \right)$ hay  \(\sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}  < 3\)

Suy ra phương trình \(\sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}  = 3\) vô nghiệm

Với \(x = 1\) dễ thấy nó là nghiệm của phương trình đã cho

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 1$.