Đề thi THPT QG 2022 – mã đề 124

Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {{z^2}} \right| = |z - \bar z|\) và \(|(z + 2)(\bar z + 2i)| = |z - 2i{|^2}\) ?

\(\begin{array}{l}|(z + 2)(\bar z + 2i)| = |z - 2i{|^2}\\ \Leftrightarrow \left| {z + 2} \right|.\left| {z - 2i} \right| = {\left| {z - 2i} \right|^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z - 2i = 0\\\left| {z + 2} \right| = \left| {z - 2i} \right|\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{z = 2i}\\{\left| {z + 2} \right| = \left| {z - 2i} \right|}\end{array}} \right.\end{array}\)

Với $z=2i$ thay vào biểu thức \(\left| {{z^2}} \right| = |z - \bar z|\) luôn đúng.

Đặt  \(z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi\)

\(\left| {z + 2} \right| = \left| {z - 2i} \right|\) \( \Leftrightarrow {\left( {a + 2} \right)^2} + {b^2} = {a^2} + {\left( {b - 2} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow a =  - b\)

\(\begin{array}{l}\left| {{z^2}} \right| = \left| {z - \bar z} \right| \Rightarrow \left| {z.z} \right| = \left| {z - \bar z} \right|\\ \Rightarrow {\left| z \right|^2} = \left| {z - \bar z} \right|\left( {do\left| {z.z} \right| = \left| z \right|.\left| z \right|} \right)\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 2\left| b \right|\end{array}\)

Thay $a=-b$ vào \({a^2} + {b^2} = 2\left| b \right|\) ta được \(2{b^2} = 2\left| b \right| \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 0 \Rightarrow a = 0}\\{b = 1 \Rightarrow a =  - 1}\\{b =  - 1 \Rightarrow a = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{z = 0}\\{z =  - 1 + i}\\{z = 1 - i}\end{array}} \right.\)

Vậy có 4 số phức thỏa mãn đề bài.