Đề thi THPT QG 2022 – mã đề 124

Cho các số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 2\left| {{z_3}} \right| = 2\) và \(3{z_1}{z_2} = 4{z_3}\left( {{z_1} + {z_2}} \right)\). Gọi $A, B, C$ lần lượt là các điểm biểu diễn của \({z_1},{z_2},{z_3}\) trên mặt phẳng tọa độ. Diện tích tam giác $A B C$ bằng

Ta có \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 2\left| {{z_3}} \right| = 2\) suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {{z_1}} \right| = 2}\\{\left| {{z_2}} \right| = 2}\\{\left| {{z_3}} \right| = 1}\end{array}} \right.\)

$A, B, C$ lần lượt là các điểm biểu diễn của \({z_1},{z_2},{z_3}\) trên mặt phẳng tọa độ nên $A, B$ thuộc đường tròn tâm \(O(0;0)\) bán kính \(R = 2\); Điểm \(C\) đường tròn tâm \(O(0;0)\) bán kính \(r = 1\).

Lại có \(3{z_1}{z_2} = 4{z_3}\left( {{z_1} + {z_2}} \right)\) nên \(\left| {4\left( {{z_1} + {z_2}} \right){z_3}} \right| = \left| {3{z_1}{z_2}} \right|\) \( \Leftrightarrow \left| {{z_1} + {z_2}} \right|\left| {{z_3}} \right| = \dfrac{3}{4}\left| {{z_1}} \right|\left| {{z_2}} \right|\) \( \Leftrightarrow \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 3\)

Áp dụng công thức: \({\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = 2\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right)\)

Ta có \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \sqrt 7  \Leftrightarrow AB = \sqrt 7 \).

Gọi \(H\) là trung điểm của $A B$, ta có \(AH = \dfrac{{\sqrt 7 }}{2};OH = \sqrt {O{A^2} - A{H^2}}  = \dfrac{3}{2}\).

Mặt khác:

\(3{z_1}{z_2} = 4{z_3}\left( {{z_1} + {z_2}} \right)\) \( \Leftrightarrow {z_3} = \dfrac{{3{z_1}{z_2}}}{{4\left( {{z_1} + {z_2}} \right)}} = \dfrac{{3{z_1}{z_2}\left( {\overline {{z_1} + {z_2}} } \right)}}{{4{{\left| {{z_1} + {z_2}} \right|}^2}}}\) \( = \dfrac{{3{z_1}{z_2}\left( {\overline {{z_1}}  + \overline {{z_2}} } \right)}}{{4{{\left| {{z_1} + {z_2}} \right|}^2}}}\) \( = \dfrac{{3\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2}{z_2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}{z_1}} \right)}}{{4.9}} = \dfrac{{\left( {{z_1} + {z_2}} \right)}}{3}\)

Suy ra \(\overrightarrow {OC}  = \dfrac{{(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} )}}{3} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {OH} \) \( \Rightarrow \overrightarrow {CH}  = \overrightarrow {OH}  - \overrightarrow {OC}  = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {OH} \) \( \Rightarrow CH = \dfrac{1}{3}OH = \dfrac{1}{2}\)

Vì OH vuông góc với AB nên CH cũng vuông góc với AB (do \(\overrightarrow {CH}  = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {OH} \))

=> Diện tích tam giác ABC: \(S = \dfrac{1}{2}CH.AB = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.\sqrt 7  = \dfrac{{\sqrt 7 }}{4}\)