Đề thi THPT QG 2022 – mã đề 124

Trong không gian $O x y z$, cho mặ̣t cầu \((S)\) tâm \(I(4;1;2)\) bán kính bằng 2. Gọi $M, N$ là hai điểm lần lượt thuộc hai trục $O x, O y$ sao cho đường thẳng $M N$ tiếp xúc với \((S)\), đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $O I M N$ có bán kính bằng \(\dfrac{7}{2}\). Gọi \(A\) là tiếp điểm của $M N$ và \((S)\), giá trị $A M . A N$ bằng

\(A\) cũng là tiếp điểm của $M N$ và \((S)\) nên IA vuông góc với MN =>IA=2

Do mặt cầu \((S)\) tâm \(I(4;1;2)\) bán kính \(R = 2\) nên ta có \(d(I,Oxy) = 2 = R\).

=>\(IA = \)\(d(I,Oxy)\)

=> IA vuông góc với (Oxy)

Vì vậy \((S)\) tiếp xúc với mặt phẳng \((Oxy)\) tại \(A(4;1;0)\).

Giả sử \(M(a;0;0),N(0;b;0)\)

Do $M, N, A$ thẳng hàng nên \(\dfrac{4}{a} + \dfrac{1}{b} = 1\).

Trục đường tròn ngoại tiếp tam giác $OMN$ là \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \dfrac{a}{2}}\\{y = \dfrac{b}{2}}\\{z = t}\end{array}} \right.\)

Gọi H là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OIMN$ => H là điểm thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác $OMN$=>\(H\left( {\dfrac{a}{2};\dfrac{b}{2};t} \right)\)=>\(H{I^2} = H{O^2} = {\left( {\dfrac{7}{2}} \right)^2}\)

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OIMN$ bằng \(\dfrac{7}{2}\) nên ta có hệ:

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{4}{a} + \dfrac{1}{b} = 1}\\{\dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{{b^2}}}{4} + {t^2} = \dfrac{{49}}{4}}\\{{{\left( {\dfrac{a}{2} - 4} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{b}{2} - 1} \right)}^2} + {{(t - 2)}^2} = \dfrac{{49}}{4}}\end{array}} \right.\end{array}\)

Rút \(b\) theo \(a\) từ \((1)\); trừ hai vế của \((2),(3)\), rút \(t\) theo \(a\), thay vào \((2)\) ta được:

$b = \dfrac{a}{{a - 4}}$

$4a + b + 4t = 21 $$\Rightarrow t = \dfrac{{21 - 4a - b}}{4} = \dfrac{{21 - 4a - \dfrac{a}{{a - 4}}}}{4} $$= \dfrac{{21}}{4} - a - \dfrac{a}{{4\left( {a - 4} \right)}}$

$\Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{{4{{\left( {a - 4} \right)}^2}}} $$+ {\left[ {\dfrac{{21}}{4} - a - \dfrac{a}{{4\left( {a - 4} \right)}}} \right]^2}$$ = \dfrac{{49}}{4}$

Sử dụng máy tính và lấy giá trị gần đúng và tìm tổng 2 nghiệm là 8 và tích 2 nghiệm là 14.

Giải phương trình tìm được \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 4 + \sqrt 2 }\\{a = 4 - \sqrt 2 }\end{array}} \right.\).

Vậy \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 4 - \sqrt 2  \Rightarrow b = 1 - 2\sqrt 2 }\\{a = 4 + \sqrt 2  \Rightarrow b = 1 + 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow AM \cdot AN = 6\sqrt 2 \).