Đề thi THPT QG 2022 – mã đề 124

Có bao nhiêu số nguyên dương \(a\) sao cho ứng với mỗi \(a\) có đúng hai số nguyên \(b\) thỏa mãn \(\left( {{5^b} - 1} \right)\left( {a \cdot {2^b} - 5} \right) < 0\) ?

Vì a nguyên dương nên ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {{5^b} - 1} \right)\left( {a \cdot {2^b} - 5} \right) < 0}\\{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{5^b} - 1 > 0}\\{a{{.2}^b} - 5 < 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{5^b} - 1 < 0}\\{a{{.2}^b} - 5 > 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b > 0}\\{b < {{\log }_2}\dfrac{5}{a}}\end{array}} \right.\left( I \right)}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b < 0}\\{b > {{\log }_2}\dfrac{5}{a}}\end{array}} \right.\left( {II} \right)}\end{array}} \right.}\end{array}\)

Xét TH1: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b > 0}\\{b < {{\log }_2}\dfrac{5}{a}}\end{array}} \right.\)=> Hệ (II) vô nghiệm

Để có đúng 2 giá trị b thỏa mãn yêu cầu bài toán thì b={1;2} thỏa mãn yêu cầu bài toán

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 < {{\log }_2}\dfrac{5}{a}}\\{{{\log }_2}\dfrac{5}{a} \le 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{5}{a} > 4}\\{8 \ge \dfrac{5}{a}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a < \dfrac{5}{4}}\\{a \ge \dfrac{5}{8}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow a = 1\)

Xét TH1: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b < 0}\\{b > {{\log }_2}\dfrac{5}{a}}\end{array}} \right.\)=> Hệ (I) vô nghiệm

Để có đúng 2 giá trị b thỏa mãn yêu cầu bài toán thì $b=-1;-2$ thỏa mãn (I)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2 > {{\log }_2}\dfrac{5}{a}}\\{{{\log }_2}\dfrac{5}{a} \ge  - 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{1}{4} > \dfrac{5}{a}}\\{{2^{ - 3}} \le \dfrac{5}{a}}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 20}\\{a \le 40}\end{array}} \right. \Rightarrow a = \left\{ {21;22;...;40} \right\}\)

Vậy có tất cả 40-21+1+1=21 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán