Đề thi THPT QG 2022 – mã đề 122

Xét tất cả các số thực $x, y$ sao cho \({8^{9 - {y^2}}} \ge {a^{6x - {{\log }_2}{a^3}}}\) với mọi số thực dương $a$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} - 6x - 8y\) bằng

Ta có \({8^{9 - {y^2}}} \ge {a^{6x - {{\log }_2}{a^3}}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _2}{8^{9 - {y^2}}} \ge {\log _2}{a^{6x - {{\log }_2}{a^3}}}\\ \Leftrightarrow 3.\left( {9 - {y^2}} \right) \ge \left( {6x - 3{{\log }_2}a} \right){\log _2}a\\ \Leftrightarrow 9 - {y^2} \ge 2x.{\log _2}a - {\left( {{{\log }_2}a} \right)^2}\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \log _2^2a - 2x{\log _2}a + 9 - {y^2} \ge 0,\forall a > 0\)

\( \Leftrightarrow {\Delta ^\prime } = {x^2} + {y^2} - 9 \le 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \le 9\)

=> Tập các điểm thỏa mãn điều kiện trên là hình tròn \((C)\) tâm O bán kính R=3.

\(P = {x^2} + {y^2} - 6x - 8y \Leftrightarrow {(x - 3)^2} + {(y - 4)^2} = P + 25\)

Gọi \(A(x;y)\) thuộc hình tròn \((C)\).

Ta thấy \(I(3;4)\) nằm ngoài đường tròn \((C)\).

\(P + 25 = I{A^2}\)

\( \Rightarrow I{A_{\min }} = IB = OI - OB = OI - 3 = 2\)\( \Rightarrow P + 25 \ge 4 \Leftrightarrow P \ge  - 21\)