Đề thi THPT QG 2022 – mã đề 122

Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {{z^2}} \right| = 2|z - \bar z|\) và \(|(z + 4)(\bar z + 4i)| = |z - 4i{|^2}?\)

Đặt  \(z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi\)

\(\begin{array}{l}\left| {{z^2}} \right| = 2\left| {z - \overline z } \right| \Rightarrow \left| {z.z} \right| = 2\left| {z - \overline z } \right|\\ \Rightarrow {\left| z \right|^2} = 2\left| {z - \overline z } \right|\left( {do\left| {z.z} \right| = \left| z \right|.\left| z \right|} \right)\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 4\left| b \right|\\|(z + 4)(\bar z + 4i)| = |z - 4i{|^2}\\ \Leftrightarrow \left| {z + 4} \right|.\left| {\overline z  + 4i} \right| = {\left| {z - 4i} \right|^2}\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a + 4} \right)}^2} + {b^2}} .\sqrt {{a^2} + {{\left( {4 - b} \right)}^2}}  = {a^2} + {\left( {b - 4} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a + 4} \right)}^2} + {b^2}} .\sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 4} \right)}^2}}  = {a^2} + {\left( {b - 4} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{a^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} = 0\\{\left( {a + 4} \right)^2} + {b^2} = {a^2} + {\left( {b - 4} \right)^2}\end{array} \right.\end{array}\)

Với \({a^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 8b + 16 = 0\)

Mà \({a^2} + {b^2} = 4\left| b \right|\) nên

\(\left| b \right| - 2b + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - b + 4 = 0\left( {b \ge 0} \right)\\ - 3b + 4 = 0\left( {b < 0} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 4\\b = \dfrac{4}{3}\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow b = 4 \Rightarrow a = 0 \Leftrightarrow z = 4i\)

Với \({\left( {a + 4} \right)^2} + {b^2} = {a^2} + {\left( {b - 4} \right)^2}\)

Khi đó: \(8a + 16 =  - 8b + 16 \Leftrightarrow a =  - b\)

Mà \({a^2} + {b^2} = 4\left| b \right|\) nên \(2{b^2} = 4\left| b \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0 \Rightarrow a = 0\\b = 2 \Rightarrow a =  - 2\\b =  - 2\Rightarrow a =2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 0\\z =  - 2 + 2i\\z = 2 - 2i\end{array} \right.\)

Vậy có 4 số phức thỏa mãn đề bài.