Đề thi THPT QG 2022 – mã đề 122

Có bao nhiêu số nguyên dương a sao cho ứng với mỗi \(a\) có đúng hai số nguyên \(b\) thỏa mãn \(\left( {{3^b} - 3} \right)\left( {a{{.2}^b} - 16} \right) < 0\)?

Vì a nguyên dương nên ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {{3^b} - 3} \right)\left( {a{{.2}^b} - 16} \right) < 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{3^b} - 3 > 0\\a{.2^b} - 16 < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{3^b} - 3 < 0\\a{.2^b} - 16 > 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}b > 1\\b < {\log _2}\dfrac{{16}}{a}\end{array} \right.\left( I \right)\\\left\{ \begin{array}{l}b < 1\\b > {\log _2}\dfrac{{16}}{a}\end{array} \right.\left( {II} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Xét TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}b > 1\\b < {\log _2}\dfrac{{16}}{a}\end{array} \right.\)=> Hệ (II) vô nghiệm

Để có đúng 2 giá trị b thỏa mãn yêu cầu bài toán thì b={2;3} thỏa mãn yêu cầu bài toán

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 < {\log _2}\dfrac{{16}}{a}\\{\log _2}\dfrac{{16}}{a} \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{16}}{a} > 8\\16 \ge \dfrac{{16}}{a}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 2\\a \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 1\)

Xét TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}b < 1\\b > {\log _2}\dfrac{{16}}{a}\end{array} \right.\)=> Hệ (I) vô nghiệm

Để có đúng 2 giá trị b thỏa mãn yêu cầu bài toán thì $b=0;-1$ thỏa mãn (I)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 > {\log _2}\dfrac{{16}}{a}\\{\log _2}\dfrac{{16}}{a} \ge  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{2} > \dfrac{{16}}{a}\\{2^{ - 2}} \le \dfrac{{16}}{a}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 32\\a \le 64\end{array} \right. \Rightarrow a = \left\{ {33;34;...;64} \right\}\)

Vậy có tất cả 64-33+1+1=33 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán