Đề thi THPT QG 2022 – mã đề 122

Cho các số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\) thỏa mãn \(2\left| {{z_1}} \right| = 2\left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = 2\) và \(\left( {{z_1} + {z_2}} \right){z_3} = 2{z_1}{z_2}\). Gọi $A, B$, C lần lượt là các điểm biểu diễn của \({z_1},{z_2},{z_3}\) trên mặt phẳng tọa độ. Diện tích tam giác $A B C$ bằng

Ta có \(2\left| {{z_1}} \right| = 2\left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = 2\) suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {{z_1}} \right| = 1}\\{\left| {{z_2}} \right| = 1}\\{\left| {{z_3}} \right| = 2}\end{array}} \right.\)

$A, B, C$ lần lượt là các điểm biểu diễn của \({z_1},{z_2},{z_3}\) trên mặt phẳng tọa độ nên $A, B$ thuộc đường tròn tâm \(O(0;0)\) bán kính \(R = 1\); Điểm \(C\) đường tròn tâm \(O(0;0)\) bán kính \(r = 2\).

Lại có \(\left( {{z_1} + {z_2}} \right){z_3} = 2{z_1}{z_2}\) nên \(\left| {\left( {{z_1} + {z_2}} \right){z_3}} \right| = \left| {2{z_1}{z_2}} \right|\) \( \Leftrightarrow \left| {{z_1} + {z_2}} \right|\left| {{z_3}} \right| = 2\left| {{z_1}} \right|\left| {{z_2}} \right|\) \( \Leftrightarrow \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 1\)

Áp dụng công thức: \({\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = 2\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right)\)

Ta có \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \sqrt 3  \Leftrightarrow AB = \sqrt 3 \).

Gọi \(H\) là trung điểm của $A B$, ta có \(AH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2};OH = \sqrt {O{A^2} - A{H^2}}  = \dfrac{1}{2}\).

Mặt khác:

\(\left( {{z_1} + {z_2}} \right){z_3} = 2{z_1}{z_2}\) \( \Leftrightarrow {z_3} = \dfrac{{2{z_1}{z_2}}}{{\left( {{z_1} + {z_2}} \right)}} = \dfrac{{2{z_1}{z_2}\left( {\overline {{z_1} + {z_2}} } \right)}}{{{{\left| {{z_1} + {z_2}} \right|}^2}}}\) \( = \dfrac{{2{z_1}{z_2}\left( {\overline {{z_1}}  + \overline {{z_2}} } \right)}}{{{{\left| {{z_1} + {z_2}} \right|}^2}}}\) \( = \dfrac{{2\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2}{z_2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}{z_1}} \right)}}{1} = 2\left( {{z_1} + {z_2}} \right)\)

Suy ra \(\overrightarrow {OC}  = 2(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} ) = 4\overrightarrow {OH} \) \( \Rightarrow \overrightarrow {CH}  = \overrightarrow {OH}  - \overrightarrow {OC}  =  - 3\overrightarrow {OH} \) \( \Rightarrow CH = 3.OH = \dfrac{3}{2}\)

Vì OH vuông góc với AB nên CH cũng vuông góc với AB (do \(\overrightarrow {CH}  =  - 3\overrightarrow {OH} \))

=> Diện tích tam giác ABC: \(S = \dfrac{1}{2}CH.AB = \dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}.\sqrt 3  = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{4}\)