Đề thi THPT QG 2022 – mã đề 122

Cho hàm số bậc bốn \(y = f(x)\). Biết hàm số \(g(x) = \ln f(x)\) có bảng biến thiên như sau:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {f^\prime }(x)\) và \(y = {g^\prime }(x)\) thuộc khoảng nào dưới đây?

Giả sử \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e\)

Ta có:

\(g\left( x \right) = \ln f\left( x \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}\)

\(\begin{array}{l}g\left( {{x_1}} \right) = \ln f\left( {{x_1}} \right) \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) = 12\\g\left( {{x_2}} \right) = \ln f\left( {{x_2}} \right) \Rightarrow f\left( {{x_2}} \right) = \dfrac{{199}}{{16}}\\g\left( {{x_3}} \right) = \ln f\left( {{x_3}} \right) \Rightarrow f\left( {{x_3}} \right) = 4\end{array}\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 0\)

Vì g’(x) =0 có 3 nghiệm phân biệt nên f’(x)=0 có 3 nghiệm phân biệt và 3 nghiệm đó không là nghiệm của f(x)=0

Vì tập nghiệm của f’(x)=0 trùng với tập nghiệm của g’(x)=0 nên \({x_1},{x_2},{x_3}\) là các điểm cực trị của hàm số y=f(x).

Mà \(f\left( x \right) = {e^{g\left( x \right)}} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) =  + \infty \) =>a>0

Khi đó f(x) có bảng biến thiên

=> $f(x)-1>0$ với mọi $x$

Ta có: \(f'\left( x \right) = g'\left( x \right).f\left( x \right)\) \( \Rightarrow f'\left( x \right) - g'\left( x \right) = g'\left( x \right).\left[ {f\left( x \right) - 1} \right]\)

=> Dấu của $f’(x)-g’(x)$ chỉ phụ thuộc vào dấu của $g’(x)$

\(f'\left( x \right) - g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_1}\\x = {x_2}\\x = {x_3}\end{array} \right.\)

Diện tích cần tìm là:

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{{x_1}}^{{x_3}} {\left| {f'\left( x \right) - g'\left( x \right)} \right|dx} \\ = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {f'\left( x \right) - g'\left( x \right)} \right|dx}  + \int\limits_{{x_2}}^{{x_3}} {\left| {f'\left( x \right) - g'\left( x \right)} \right|dx} \\ = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left[ {f'\left( x \right) - g'\left( x \right)} \right]dx}  - \int\limits_{{x_2}}^{{x_3}} {\left[ {f'\left( x \right) - g'\left( x \right)} \right]dx} \\ = \left. {f\left( x \right)} \right|_{{x_1}}^{{x_2}} - \left. {g\left( x \right)} \right|_{{x_1}}^{{x_2}} - \left. {f\left( x \right)} \right|_{{x_2}}^{{x_3}} + \left. {g\left( x \right)} \right|_{{x_2}}^{{x_3}}\\ = f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) - g\left( {{x_2}} \right) + g\left( {{x_1}} \right)\\ - f\left( {{x_3}} \right) + f\left( {{x_2}} \right) + g\left( {{x_3}} \right) - g\left( {{x_2}} \right)\\ = 2.\dfrac{{199}}{{16}} - 12 - 2.\ln \dfrac{{199}}{{16}} + \ln 12 - 4 + \ln 4\\ = \dfrac{{71}}{8} - 2.\ln 199 + 8\ln 2 + \ln 3 + 2\ln 2 + 2\ln 2\\ = \dfrac{{71}}{8} - 2.\ln 199 + \ln 3 + 12\ln 2 \approx 7,7 \in \left( {7;8} \right)\end{array}\)