Đề thi THPT QG 2020 – mã đề 104

Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,\,\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R}} \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số \(a,\;b,\;c,\;d\)?

Ta có: \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) \( \Rightarrow y' = 3a{x^2} + 2bx + c\)

\( \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 3a{x^2} + 2bx + c = 0\,\,\,\left( * \right)\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy nét cuối của hàm số đi xuống \( \Rightarrow a < 0.\)

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại một điểm nằm phía trên trục hoành \( \Rightarrow d > 0.\)

Ta thấy đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị đều âm nên \(\left( * \right)\) có hai nghiệm âm phân biệt

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b^2} - 3ac > 0\\ - \dfrac{b}{a} < 0\\\dfrac{c}{a} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b^2} > 3ac\\ab > 0\\ac > 0\end{array} \right.\)

Lại có: \(a < 0\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b < 0\\c < 0\end{array} \right..\)

Như vậy chỉ có \(d > 0.\)