Đề thi THPT QG 2020 – mã đề 104

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}\). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)\) là

Ta có: \(f\left( x \right) = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}\) \( \Rightarrow f'\left( x \right) = \left( {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}} \right)'\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 4}  - \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}}}{{{x^2} + 4}}\) \( = \dfrac{{{x^2} + 4 - {x^2}}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^3}} }} = \dfrac{4}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^3}} }}.\)

\( \Rightarrow g\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)\) \( = xf'\left( x \right) + f'\left( x \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {g\left( x \right)dx}  = \int {xf'\left( x \right)dx}  + \int {f'\left( x \right)dx} \\ = \int {\dfrac{{4x}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^3}} }}dx}  + f\left( x \right)dx\\ = \int {\dfrac{{4x}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^3}} }}dx}  + \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}.\end{array}\)

Đặt \(I = \int {\dfrac{{4x}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^3}} }}dx} \)

Đặt \(\sqrt {{x^2} + 4}  = t\)\( \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 4\) \( \Rightarrow xdx = tdt\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int {\dfrac{{4tdt}}{{{t^3}}} = \int {\dfrac{4}{{{t^2}}}dt}  =  - \dfrac{4}{t} + C} \\ \Rightarrow I =  - \dfrac{4}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} + C\\ \Rightarrow \int {g\left( x \right)dx}  =  - \dfrac{4}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} + \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} + C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{x - 4}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} + C.\end{array}\)