Đề thi THPT QG 2019 – mã đề 104
Xét các số phức \(z\)thoả mãn \(\left| z \right| = \sqrt 2 \). Trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), tập hợp điểm biểu diễn các số phức \(w = \dfrac{{5 + iz}}{{1 + z}}\) là một đường tròn có bán kính bằng
Trả lời bởi giáo viên
Ta có \(w = \dfrac{{5 + iz}}{{1 + z}} \Leftrightarrow w\left( {1 + z} \right) = 5 + iz \Leftrightarrow w + wz = 5 + iz \Leftrightarrow z\left( {w - i} \right) = 5 - w\).
Nếu \(w = i \Leftrightarrow 0.z = 5 - i \Leftrightarrow 0 = 5 - i\) (vô lý) \( \Rightarrow w \ne i\)\( \Rightarrow z = \dfrac{{5 - w}}{{w - i}}\).
Theo bài ra ta có:
\(\left| z \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{5 - w}}{{w - i}}} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {5 - w} \right| = \sqrt 2 \left| {w - i} \right|\).
Đặt \(w = x + yi\) ta có: \(\left| {5 - x - yi} \right| = \sqrt 2 \left| {x + yi - i} \right|\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {5 - x} \right)^2} + {y^2} = 2\left[ {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \right]\\ \Leftrightarrow {x^2} - 10x + 25 + {y^2} = 2{x^2} + 2{y^2} - 4y + 2\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 10x - 4y - 23 = 0\end{array}\)
Ta có \({a^2} + {b^2} - c = {5^2} + {2^2} + 23 = 52 > 0 \Rightarrow \) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w\) là một đường tròn có bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} = \sqrt {52} = 2\sqrt {13} \).
Hướng dẫn giải:
+) Cô lập \(z\), thay vào điều kiện \(\left| z \right| = \sqrt 2 \).
+) Đặt \(w = x + yi\), tìm mối liên hệ giữa \(x;\,\,y\) và kết luận.