Đề thi THPT QG 2019 – mã đề 104

Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có chiều cao bằng 4 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 4. Gọi \(M,N\) và \(P\) lần lượt là tâm của các mặt bên \(ABB'A',ACC'A'\) và  \(BCC'B'\). Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm \(A,B,C,M,N,P\) bằng

Gọi \(V\) là thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).

Gọi \({A_1},\,\,{B_1},\,\,{C_1}\) lần lượt là trung điểm của \(AA',\,\,BB',\,\,CC'\). Khi đó ta có \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}} \right)//\left( {ABC} \right)//\left( {A'B'C'} \right)\)

Khi đó \({V_{ABC.MNP}} = {V_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}} - {V_{A.{A_1}MN}} - {V_{B.{B_1}MP}} - {V_{C.{C_1}NP}}\).

Ta có \({V_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}} = \dfrac{1}{2}{V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{1}{2}V\).

\({V_{A.{A_1}MN}} = \dfrac{1}{3}d\left( {A;\left( {{A_1}{B_1}{C_1}} \right)} \right).{S_{{A_1}MN}}\)\( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}d\left( {\left( {ABC} \right);\left( {A'B'C'} \right)} \right).\dfrac{1}{4}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{{24}}V\).

Chứng minh tương tự ta có \({V_{B.{B_1}MP}} = {V_{C.{C_1}NP}} = \dfrac{V}{{24}}\).

\( \Rightarrow {V_{ABCMNP}} = \dfrac{1}{2}V - 3.\dfrac{V}{{24}} = \dfrac{{3V}}{8}\).

Ta có \(V = 4.\dfrac{{{4^2}\sqrt 3 }}{4} = 16\sqrt 3 \)\( \Rightarrow {V_{ABCMNP}} = \dfrac{{3.16\sqrt 3 }}{8} = 6\sqrt 3 \).