Có bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị $\left( C \right):y = {x^4} - 2{x^2}$ đi qua gốc tọa độ $O$?
Trả lời bởi giáo viên
Giả sử $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số $\left( C \right)$ có tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ $O$
Ta có: $y' = 4{{\text{x}}^3} - 4{\text{x}}$
Ta có phương trình đường thẳng tiếp tuyến tại điểm $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$
$y = \left( {4{\text{x}}_0^3 - 4{{\text{x}}_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$$ \Leftrightarrow y = \left( {4{\text{x}}_0^3 - 4{{\text{x}}_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {x_0}^4 - 2x_0^2$
Thay $\left( {0;0} \right)$ vào phương trình trên ta được:
\(\begin{array}{l}0 = \left( {4{\rm{x}}_0^3 - 4{{\rm{x}}_0}} \right)\left( {0 - {x_0}} \right) + {x_0}^4 - 2x_0^2\\ \Leftrightarrow - 3x_0^4 + 2x_0^2 = 0 \Leftrightarrow x_0^2\left( { - 3x_0^2 + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = \pm \sqrt {\dfrac{2}{3}} \end{array} \right.\end{array}\)
Vậy có ba điểm có tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ.
Hướng dẫn giải:
- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M$ bất kỳ thuộc $\left( C \right)$:
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số $\left( C \right):y = f\left( x \right)$ tại điểm $M\left( {{x_0},{y_0}} \right) \in \left( C \right)$ là: $y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$
- Tiếp tuyến đi qua điểm $O$ nếu tọa độ của $O$ thỏa mãn phương trình tiếp tuyến.
- Số nghiệm ${x_0}$ của phương trình chính là số điểm $M$ cần tìm.
Giải thích thêm:
Tránh nhầm lẫn với bài toán viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm $O\left( {0;0} \right)$. Với bài toán này sẽ chỉ tìm được 1 tiếp tuyến nên HS sẽ bị chọn nhầm đáp án B.
Câu hỏi khác
- Đề thi tư duy định lượng - Đề số 1 đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội có lời giải chi tiết
- Đề thi tư duy định lượng - Đề số 2 đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội có lời giải chi tiết
- Đề thi tư duy định lượng - Đề số 4 đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội có lời giải chi tiết
- Đề thi tư duy định lượng - Đề số 11 đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội có lời giải chi tiết
- Đề thi tư duy định lượng - Đề số 5 đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội có lời giải chi tiết
