Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 1\) và \(\left| {{z^3} + 2024z + \overline z } \right| - 2\sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019\)?

Ta có :

\(\begin{array}{l}\left| {{z^3} + 2024z + \overline z } \right| - 2\sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {{z^3} + 2024z + \overline z } \right|}}{{\left| z \right|}} - 2\sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019\\ \Leftrightarrow \left| {{z^2} + 2024 + \dfrac{{\overline z }}{z}} \right| - 2\sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019 \Leftrightarrow \left| {{z^2} + 2024 + {{\overline z }^2}} \right| - 2\sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019\\ \Leftrightarrow \left| {{{\left( {z + \overline z } \right)}^2} - 2z\overline z  + 2024} \right| - 2\sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019 \Leftrightarrow \left| {{{\left( {z + \overline z } \right)}^2} + 2022} \right| - 2\sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019\end{array}\)

Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi \Rightarrow z + \overline z  = 2a\).

Khi đó phương trình cuối trở thành \(\left| {{{\left( {2a} \right)}^2} + 2022} \right| - 2\sqrt 3 .\left| {2a} \right| = 2019 \Leftrightarrow 4{a^2} - 4\sqrt 3 \left| a \right| + 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {2\left| a \right| - \sqrt 3 } \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left| a \right| = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow a =  \pm \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Mà \(\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} = 1 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 1 \Rightarrow {b^2} = 1 - {a^2} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow b =  \pm \dfrac{1}{2}\).

Vậy có bốn số phức thỏa mãn bài toán là \({z_1} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{1}{2}i,\,\,{z_2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \dfrac{1}{2}i,\,\,{z_3} =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \dfrac{1}{2}i,\,\,{z_4} =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{1}{2}i.\)