Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: \(\left| z \right| = 2\) và \({z^2}\) là số thuần ảo?
Trả lời bởi giáo viên
Gọi số phức \(z = x + yi\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\) có mô đun \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)
Từ đề bài ta có \(\left| z \right| = 2 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 4\)
Và \({z^2} = {\left( {x + yi} \right)^2} = {x^2} - {y^2} + 2xyi\) là số thuần ảo \( \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\x = - y\end{array} \right.\)
+ Với \(x = y \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 4 \Leftrightarrow 2{x^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 2 \Rightarrow y = \sqrt 2 \\x = - \sqrt 2 \Rightarrow y = - \sqrt 2 \end{array} \right.\)
+ Với \(x = - y \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 4 \Leftrightarrow 2{x^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 2 \Rightarrow y = - \sqrt 2 \\x = - \sqrt 2 \Rightarrow y = - \sqrt 2 \end{array} \right.\)
Vậy có 4 số phức thỏa mãn đề bài \(\sqrt 2 + \sqrt 2 i;\, - \sqrt 2 - \sqrt 2 i;\,\sqrt 2 - \sqrt 2 i;\, - \sqrt 2 + \sqrt 2 i\)
Hướng dẫn giải:
Số phức \(z = x + yi\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\) có mô đun \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)
Số phức \(z\) là số thuần ảo nếu phần thực \(x = 0.\)