Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left[ {{{\log }_3}\left( {{x^2} + 1} \right) - {{\log }_3}(x + 31)} \right]\)\( \left( {32 - {2^{x - 1}}} \right)\ge 0\)?

Điều kiện: \(x >  - 31\).

Đặt \(f(x) = \left[ {{{\log }_3}\left( {{x^2} + 1} \right) - {{\log }_3}(x + 31)} \right]\)\( \left( {32 - {2^{x - 1}}} \right)\).

Ta có

\(\begin{array}{l}{\log _3}\left( {{x^2} + 1} \right) - {\log _3}(x + 31) = 0\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} + 1} \right) = {\log _3}(x + 31)\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 1 = x + 31\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - x - 30 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 6{\rm{ (t/m }}\,\,x >  - 31)}\\{x =  - 5{\rm{ (t/m }}\,\,x >  - 31).}\end{array}} \right.\)

Tiếp đến \(32 - {2^{x - 1}} = 0 \Leftrightarrow {2^{x - 1}} = 32\) \( \Leftrightarrow x - 1 = 5 \Leftrightarrow x = 6\) (thỏa mãn \(x >  - 31\) ).

Bảng xét dấu của \(f(x)\) như sau.

Do đó, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = ( - 31; - 5] \cup \{ 6\} \).

Vậy có tất cả 27 số nguyên \(x\) thỏa mãn bài toán.