Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn \(\left( {{{25}^x} - {{126.5}^{x + 1}} + 3125} \right)\sqrt {3 - {{\log }_2}x}  \le 0\)?

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\3 - {\log _2}x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \le 8\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x \le 8\).

Ta có: \(\left( {{{25}^x} - {{126.5}^{x + 1}} + 3125} \right)\sqrt {3 - {{\log }_2}x}  \le 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3 - {\log _2}x = 0\\{25^x} - {126.5^x} + 3125 \le 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 8\\{5^{2x}} - {630.5^x} + 3125 \le 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 8\\5 \le {5^x} \le 625\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 8\\1 \le x \le 4\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện).

Vì \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {1;\,2;\,3;\,4;\,8} \right\}\).

Vậy có $5$ số nguyên thỏa mãn bất phương trình đã cho.