Có bao nhiêu số nguyên a để phương trình \({z^2} - \left( {a - 3} \right)z + {a^2} + a\) có 2 nghiệm \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| {{z_1} - {z_2}} \right|\)?

Phương trình \({z^2} - \left( {a - 3} \right)z + {a^2} + a\) có \(\Delta  = {\left( {a - 3} \right)^2} - 4\left( {{a^2} + a} \right) =  - 3{a^2} - 10a + 9\).

TH1: phương trình có 2 nghiệm thực.

\( \Rightarrow \) \(\Delta  \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 5 - 2\sqrt {13} }}{3} \le a \le \dfrac{{ - 5 + 2\sqrt {13} }}{3}\).

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = a - 3\\{z_1}{z_2} = {a^2} + a\end{array} \right.\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| {{z_1} - {z_2}} \right|\\ \Rightarrow {\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} = {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} = {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 4{z_1}{z_2}\\ \Leftrightarrow {z_1}{z_2} = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + a = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a =  - 1\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

TH2: Phương trình có 2 nghiệm phức

\( \Rightarrow \Delta  < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a < \dfrac{{ - 5 - 2\sqrt {13} }}{3}\\a > \dfrac{{ - 5 + 2\sqrt {13} }}{3}\end{array} \right.\).

Ta có: \({z_2} = \overline {{z_1}} \) nên \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| {{z_1} - {z_2}} \right| \Leftrightarrow \left| {{z_1} + \overline {{z_1}} } \right| = \left| {{z_1} - \overline {{z_1}} } \right|\)

Đặt \({z_1} = m + ni \Rightarrow \overline {{z_1}}  = m - ni\).

\( \Rightarrow \left| {2m} \right| = \left| {2ni} \right| \Leftrightarrow \left| m \right| = \left| n \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = n\\m =  - n\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = m + mi\\{z_1} = m - mi\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = a - 3\\{z_1}{z_2} = {a^2} + a\end{array} \right.  \end{array}\)$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + mi + m - mi = a - 3\\{m^2} + {m^2} = {a^2} + a\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{{a - 3}}{2}\\2{\left( {\dfrac{{a - 3}}{2}} \right)^2} = {a^2} + a\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{{a - 3}}{2}\\{a^2} - 6a + 9 = 2{a^2} + 2a\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{{a - 3}}{2}\\{a^2} + 8a - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = -9\\a =  1\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.$

Kết hợp 2 trường hợp ta có 4 giá trị của a thỏa mãn bài toán.