Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({4^x} - m{.2^{x + 1}} + 3m - 6 = 0\) có hai nghiệm trái dấu?
Trả lời bởi giáo viên
\({4^x} - m{.2^{x + 1}} + 3m - 6 = 0\) \(\left( 1 \right)\)
Đặt \(t = {2^x}\), \(t > 0\). Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \({t^2} - 2mt + 3m - 6 = 0\) \(\left( 2 \right)\).
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm \({t_1}\), \({t_2}\) thoả mãn \(0 < {t_1} < 1 < {t_2}\).
Nên \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} - 3m + 6 > 0\\{t_1} + {t_2} = 2m > 0\\{t_1}{t_2} = 3m - 6 > 0\\\left( {{t_1} - 1} \right)\left( {{t_2} - 1} \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m > 2\\m < 5\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 < m < 5\).
Do \(m\) nguyên nên có 2 giá trị của \(m\) thoả mãn yêu cầu bài toán.
Hướng dẫn giải:
- Đặt \(t = {2^x}\), \(t > 0\). Biết đổi phương trình thành phương trình bậc hai ẩn t
- Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm \({t_1}\), \({t_2}\) thoả mãn \(0 < {t_1} < 1 < {t_2}\).