Có bao nhiêu giá trị của \(m\) để phương trình ${x^2} - (2m + 1)x + {m^2} + 1 = 0\;\;\;\;\left( 1 \right)$

 có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn ${({x_1} - {x_2})^2} = {x_1}$.

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thì

$\begin{array}{l}\Delta  > 0 \Leftrightarrow {(2m + 1)^2} - 4({m^2} + 1) > 0 \Leftrightarrow 4{m^2} + 4m + 1 - 4{m^2} - 4 > 0\\ \Leftrightarrow 4m - 3 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{3}{4}.\end{array}$

Vậy \(m > \dfrac{3}{4}\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Với \(m > \dfrac{3}{4}\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\;\;{x_2}.\)

Theo hệ thức Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 1\\{x_1}{x_2} = {m^2} + 1\end{array} \right..$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {({x_1} - {x_2})^2} = x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} = {({x_1} + {x_2})^2} - 4{x_1}{x_2}\\\; = {(2m + 1)^2} - 4({m^2} + 1) = 4m - 3 = {x_1}\\ \Rightarrow {x_2} = 2m + 1 - {x_1} = 2m + 1 - 4m + 3 = 4 - 2m.\\ \Rightarrow {x_1}{x_2} = {m^2} + 1\\ \Leftrightarrow \left( {4m - 3} \right)\left( {4 - 2m} \right) = {m^2} + 1\\ \Leftrightarrow 16m - 8{m^2} - 12 + 6m = {m^2} + 1\\ \Leftrightarrow 9{m^2} - 22m + 13 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {9m - 13} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 = 0\\9m - 13 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\;\;\left( {tm} \right)\\m = \dfrac{{13}}{9}\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}$

Vậy \(m = 1,\;\;m = \dfrac{{13}}{9}\) thỏa mãn điều kiện bài toán.