Cho tứ giác $ABCD.$ Gọi $M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P,{\rm{ }}Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,{\rm{ }}BC,{\rm{ }}CD,{\rm{ }}DA.$ Hai đường chéo $AC$ và $BD$ phải thỏa mãn điều kiện gì để $M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P,{\rm{ }}Q$ là bốn đỉnh của hình vuông.
Trả lời bởi giáo viên
![Lời giải - Đề kiểm tra giữa học kì 1 - Đề số 2 - ảnh 1](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1540637213952_40.png)
Xét tam giác $ABD$ có:
$M$ là trung điểm của $AB$ (gt)
$Q$ là trung điểm của $AD$ (gt)
\( \Rightarrow \) $QM$ là đường trung bình của tam giác $ABD.$ (định lý)
Do đó $QM//BD$ và \(QM = \dfrac{1}{2}BD\) (1)
Tương tự ta cũng có $NP$ là đường trung bình của tam giác $BCD.$
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}NP//BD\\NP = \dfrac{1}{2}BD\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Từ (1) và (2) ta suy ra $MNPQ$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).
Tương tự ta cũng có $MN$ là đường trung bình của tam giác $BAC$ nên $MN//AC$ và \(MN = \dfrac{1}{2}AC\)
Để hình bình hành $MNPQ$ là hình vuông \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}MN \bot NP\\MN = NP\end{array} \right.\)
+ Để \(MN \bot NP \Leftrightarrow AC \bot BD\) (vì $MN//AC,{\rm{ }}NP//BD$ )
+ Để \(MN = NP \Leftrightarrow AC = BD\) (vì \(MN = \dfrac{1}{2}AC,NP = \dfrac{1}{2}BD\) )
Vậy điều kiện cần tìm để $MNPQ$ là hình vuông là \(BD = AC;BD \bot AC.\) .
Hướng dẫn giải:
Chứng minh \(MNPQ\) là hình bình hành
Dựa vào dấu hiệu nhận biết hình vuông để tìm ra điều kiện của hai đường chéo $AC$ và $BD$ tương ứng.