Câu hỏi:
2 năm trước

Cho tứ diện đều $ABCD$  cạnh $a$ . Gọi $M$  và $P$  lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh $AD$  và $BC$  sao cho $MA = PC = x\left( {0 < x < \dfrac{a}{2}} \right)$ . Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua $MP$  song song với $CD$  cắt tứ diện theo một thiết diện là hình gì?

Trả lời bởi giáo viên

Đáp án đúng: d

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( \alpha  \right) \cap \left( {ACD} \right)\\CD\parallel \left( \alpha  \right)\\CD \subset \left( {ACD} \right)\end{array} \right.\)

Suy ra \(\left( \alpha  \right) \cap \left( {ACD} \right) = MN\parallel CD\) với \(N \in AC\).

Tương tự \(\left( \alpha  \right) \cap \left( {BCD} \right) = PQ\parallel CD\) với \(Q \in BD.\)

Vì $MN//CD//PQ$  nên thiết diện $MNPQ$  là hình thang.

Ta có $DQ = CP = x,DM = a-x$.

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác $DMQ$ ta có:

\(MQ = \sqrt {D{M^2} + D{Q^2} - 2DM.DQ.cos60}  = \sqrt {3{x^2} - 3ax + {a^2}} .\)

Tương tự ta cũng tính được \(NP = \sqrt {3{x^2} - 3ax + {a^2}} .\)

Suy ra $MQ = NP$ .

Mặt khác ta có 

\(\begin{array}{l}MN = x < \dfrac{a}{2};PQ = a - x > \dfrac{a}{2}\\ \Rightarrow MN \ne PQ\end{array}\)

\( \Rightarrow MNPQ\) không là hình bình hành

Vậy thiết diện $MNPQ$  là hình thang cân.

Hướng dẫn giải:

- Đưa về cùng mặt phẳng.

- Sử dụng các tính chất về đường cao, đường trung tuyến trong tam giác cân.

- Vận dụng các dấu hiệu nhận biết một số tứ giác đặc biệt.

Câu hỏi khác