Cho tứ diện $ABCD$ có các cạnh đều bằng \(a\). Hãy chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
Trả lời bởi giáo viên
Phương án A:
$\overrightarrow {{\rm{AD}}} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} = \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DA} } \right) + \left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} } \right) = \overrightarrow 0 + \overrightarrow {BD} \ne \overrightarrow 0 $ nên A sai
Phương án B:$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = a.a.\cos {\rm{6}}{{\rm{0}}^0}{\rm{ = }}{\dfrac{a}{2}^2}$ nên B sai
Phương án C: $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} (\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} ) = 0 \Leftrightarrow {\overrightarrow {AC} ^2} = 0$ nên C sai.
Phương án D: Do tứ diện \(ABCD\) đều nên \(AB \bot CD\) hay \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 0\).
Hướng dẫn giải:
Xét tính đúng, sai của từng đáp án, sử dụng các quy tắc cộng, trừ véc tơ và nhân vô hướng hai véc tơ.
Giải thích thêm:
Các em có thể dễ dàng chứng minh tứ diện đều \(ABCD\) có \(AB \bot CD\) bằng cách gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\) và chứng minh \(CD \bot \left( {ABM} \right)\), từ đó chứng minh được các cặp cạnh đối còn lại cũng vuông góc.