Cho tích phân $I = \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{\ln \left( {3\sin x + \cos x} \right)}}{{{{\sin }^2}x}}{\rm{d}}x} = m.\ln \sqrt 2 + n.\ln 3 - \dfrac{\pi }{4}$, tổng $m + n$
Trả lời bởi giáo viên
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {3\sin x + \cos x} \right)\\dv = \dfrac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{3\cos x - \sin x}}{{3\sin x + \cos x}}\,\,dx\\v = - \cot x - 3 = - \dfrac{{3\sin x + \cos x}}{{\sin x}}\end{array} \right.$.
Khi đó $I = \left. {\left[ { - \left( {\cot x + 3} \right)\ln \left( {3\sin x + \cos x} \right)} \right]} \right|_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} + \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{3\cos x - \sin x}}{{\sin x}}\,\,dx} .$
$\begin{array}{l} = 4.\ln 2\sqrt 2 - 3.\ln 3 - \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {dx} + 3.\int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{d\left( {\sin x} \right)}}{{\sin x}}} \\ = 4.\ln 2\sqrt 2 - 3.\ln 3 - \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {dx} + 3\left. {\ln \left| {\sin x} \right|} \right|_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}}\\ = 4.\ln 2\sqrt 2 - 3.\ln 3 - \dfrac{\pi }{4} - 3.\ln \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\ = 12ln\sqrt 2 - 3\ln 3 - \dfrac{\pi }{4} + 3\ln \sqrt 2 = 15.\ln \sqrt 2 - 3.\ln 3 - \dfrac{\pi }{4}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 15\\n = - 3\end{array} \right. \Rightarrow m + n = 12.\end{array}$
Hướng dẫn giải:
- Sử dụng công thức của tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).
- Trong các tích phân có hàm logarit và hàm lượng giác ta ưu tiên đặt u bằng hàm logarit.
- Đồng nhất thức.