Câu hỏi:
2 năm trước
Cho tam giác nhọn \(ABC\) \(\left( {AB < AC} \right)\), các đường cao \(BD,\,\,CE\) \(\left( {D \in AC,\,\,E \in AB} \right)\) cắt nhau tại \(H\).
Chọn khẳng định đúng về hai đường thẳng nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác \(MBE,MCD\)
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Ta có \(\angle ABC = \angle AGE\,\,\left( {cmt} \right)\) nên \(EBMG\) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện).
\( \Rightarrow \) Đường nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác \(MBE,MCD\) là đường nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác \(GDCM\) và \(EBMG\).
Giao của hai tứ giác \(GDCM\) và \(EBMG\) là \(GM\).
\( \Rightarrow \) Đường nối tâm vuông góc với \(GM\,\,\left( * \right)\)
Gọi \(\left\{ F \right\} = AH \cap BC\) \( \Rightarrow AF \bot BC \Rightarrow \angle AFB = {90^0}\).
Mà \(\angle BDA = {90^0}\) \( \Rightarrow ADFB\) nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).
\( \Rightarrow \angle BAC = \angle DFM\) (1) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).
Mà \(\angle EDH = \angle EAH\)(2) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(EH\)).
\(\angle HDM = \angle HBM = \angle DBM\) (\(DM\) là trung tuyến của \(\Delta BDC\) vuông tại \(D\) nên \(DM = \frac{1}{2}BC = BM\)).
\(\angle DBM = \angle HAD\) (Cùng phụ \(\angle ACB\))
\( \Rightarrow \angle HDM = \angle HAD\,\,\,\left( 3 \right)\)
Từ (1), (2) và (3) suy ra
\(\angle EDM = \angle EDH + \angle HDM = \angle EAH + \angle HAD = \angle BAC = \angle DFM = \angle KDM\)
Xét \(\Delta FDM\) và \(\Delta DKM\) có: \(\angle KMD\) chung; \(\angle DFM = \angle KDM\) (cmt)
\( \Rightarrow \Delta FDM \sim \Delta DKM\,\,\,\left( {g.g} \right)\) \( \Rightarrow \frac{{MD}}{{KM}} = \frac{{FM}}{{MD}} \Rightarrow M{D^2} = FM.KM\)
Có: \(\Delta GCM \sim \Delta CAM\,\,\left( {cmt} \right)\)\( \Rightarrow \frac{{MC}}{{AM}} = \frac{{GM}}{{MC}} \Rightarrow M{C^2} = MG.MA\)
Mà \(MD = MC\)(cmt) \( \Rightarrow FM.KM = MG.MA \Rightarrow \frac{{FM}}{{GM}} = \frac{{MA}}{{MK}}\)
\( \Rightarrow \Delta FGM \sim \Delta AKM\,\,\,\left( {c.g.c} \right)\)\( \Rightarrow \angle FGM = \angle AKM\) (2 góc tương ứng)
\( \Rightarrow AGFK\) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện).
\( \Rightarrow \angle AFK = \angle AGK = {90^0}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(AK\)) \( \Rightarrow KG \bot AG\) hay \(KG \bot GM\) (**)
Từ (*) và (**) suy ra đường nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác \(MBE,MCD\) song song với \(KG\).
Hướng dẫn giải:
+ Chứng minh được: Đường nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác \(MBE,MCD\) là đường nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác \(GDCM\) và \(EBMG\), suy ra đường nối tâm vuông góc với \(GM\,\,\left( * \right)\)
Gọi \(\left\{ F \right\} = AH \cap BC\)
Chứng minh: \(\angle BAC = \angle DFM\), \(\angle EDH = \angle EAH\), \(\angle HDM = \angle HAD\) từ đó, suy ra \(\angle EDM = \angle KDM\)
Chứng minh: \(AGFK\) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện)
\( \Rightarrow \angle AFK = \angle AGK = {90^0}\)
\( \Rightarrow \)\(KG \bot GM\) (**)
Từ (*) và (**) suy ra đường nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác \(MBE,MCD\) song song với \(KG\) (đpcm)
