Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\),\(AB < AC,\widehat C = \alpha  < {45^0}\), đường trung tuyến \(AM\), đường cao \(AH\), \(MA = MB = MC = a.\) Chọn câu đúng.

Góc \(2\alpha \) là góc \(AMH\).

+ Ta có \(BC = 2AM;\,AH.BC = AB.AC \Rightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}}\)  nên \(\sin 2\alpha  = \sin \widehat {AMH} = \dfrac{{AH}}{{AM}} = \dfrac{{2AH}}{{BC}}\)\( = 2.\dfrac{{AB.AC}}{{B{C^2}}} = 2.\dfrac{{AB}}{{BC}}.\dfrac{{AC}}{{BC}}\)

Mà theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có \(\sin \alpha  = \dfrac{{AB}}{{BC}};\cos \alpha  = \dfrac{{AC}}{{BC}}\)  nên

\(\sin 2\alpha  = 2.\sin \alpha .\cos \alpha \)  hay A đúng.

+)  Ta có \(\cos 2\alpha  = \cos \widehat {AMH} = \dfrac{{HM}}{{AM}}\)  (trong tam giác vuông \(AMH\) ) ; \(A{C^2} = HC.BC \Rightarrow HC = \dfrac{{A{C^2}}}{{BC}}\) và \(\cos \alpha  = \dfrac{{AC}}{{BC}}\)  nên

\(1 + \cos 2\alpha  = 1 + \dfrac{{HM}}{{AM}} = \dfrac{{AM + HM}}{{AM}} = \dfrac{{HM + MC}}{{AM}} = \dfrac{{HC}}{{AM}}\) \( = 2\dfrac{{HC}}{{BC}} = 2\dfrac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}} = 2{\cos ^2}\alpha ;\)

Do đó B đúng.

+) \(1 - \cos 2\alpha  = 1 - \dfrac{{HM}}{{AM}} = \dfrac{{AM - HM}}{{AM}} = \dfrac{{HB}}{{AM}}\)\( = 2\dfrac{{HB}}{{BC}} = 2\dfrac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}} = 2{\sin ^2}\alpha \)

Do đó C đúng.

Vậy cả A, B, C đều đúng.