Cho tam giác \(ABC\) biết trực tâm \(H\left( {1;\;1} \right)\) và phương trình cạnh \(AB:5x - 2y + 6 = 0\), phương trình cạnh \(AC:4x + 7y - 21 = 0\). Phương trình cạnh \(BC\) là

Phương trình \(AB:5x - 2y + 6 = 0\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {5;\; - 2} \right)\).

Phương trình \(AC:4x + 7y - 21 = 0\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AC}}}  = \left( {4;\;7} \right)\).

Ta có \(BH \bot AC\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{BH}}} .\overrightarrow {{n_{AC}}}  = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_{BH}}}  = \left( {7;\; - 4} \right)\).

Suy ra phương trình đường thẳng \(BH\) có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_{BH}}}  = \left( {7; - 4} \right)\\H\left( {1;1} \right)\end{array} \right.\).

\(BH:7\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 7x - 4y - 3 = 0\).

Ta có điểm \(B\) là giao điểm của hai đường thẳng \(AB\) và \(BH\), suy ra tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}5x - 2y + 6 = 0\\7x - 4y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 5\\y =  - \dfrac{{19}}{2}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow B\left( { - 5;\; - \dfrac{{19}}{2}} \right)\).

\(A\) là giao điểm của \(AB,AC\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}5x - 2y + 6 = 0\\4x + 7y - 21 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;3} \right)\).

Phương trình cạnh \(BC\) có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_{BC}}}  = \overrightarrow {AH}  = \left( {1; - 2} \right)\\B\left( { - 5; - \dfrac{{19}}{2}} \right)\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow BC:x + 5 - 2\left( {y + \dfrac{{19}}{2}} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x - 2y - 14 = 0\)

Vậy \(BC:x - 2y - 14 = 0\).