Cho số phức \(z = m + 1 + mi\) với \(\left( {m \in \mathbb{R}} \right)\). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left( { - 5;5} \right)\) sao cho \(\left| {z - 2i} \right| > 1?\)

Ta có \(z = m + 1 + mi \Rightarrow z - 2i = m + 1 + \left( {m - 2} \right)i.\)

\( \Rightarrow \left| {z - 2i} \right| = \sqrt {{{\left( {m + 1} \right)}^2} + {{\left( {m - 2} \right)}^2}} \).

Theo bài ra ta có: \(\left| {z - 2i} \right| > 1 \Rightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} + {\left( {m - 2} \right)^2} > 1\)

\( \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 + {m^2} - 4m + 4 > 1\) \( \Leftrightarrow 2{m^2} - 2m + 4 > 0\) (luôn đúng)

\( \Rightarrow m \in \mathbb{R}\).

Kết hợp điều kiện bài toán, ta có \(m \in \left( { - 5;5} \right),\,\,m \in \mathbb{Z}\)\( \Rightarrow m \in \left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4} \right\}.\)

Vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.