Cho phương trình: \({x^4} + m{x^2} + 2m + 3 = 0\) (1). Với giá trị nào dưới đây của $m$ thì phương trình (1) có $4$ nghiệm phân biệt ?
Trả lời bởi giáo viên
Đặt: \({x^2} = t\left( {t \ge 0} \right)\) ta được: \({t^2} + mt + 2m + 3 = 0\) (2).
Để phương trình (1) có $4$ nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có $2$ nghiệm dương phân biệt
Phương trình (2) có $2$ nghiệm dương phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4\left( {2m + 3} \right) > 0\\ - m > 0\\2m + 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 8m - 12 > 0\\m < 0\\m > - \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 4 + 2\sqrt 7 \\m < 4 - 2\sqrt 7 \end{array} \right.\\ - \dfrac{3}{2} < m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - \dfrac{3}{2} < m < 4 - 2\sqrt 7 \)
Với các giá trị thuộc \( - \dfrac{3}{2} < m < 4 - 2\sqrt 7 \) thì phương trình đã cho có $4$ nghiệm phân biệt.
Nhận thấy trong các đáp án thì thì chỉ có \(m = - \dfrac{7}{5}\) thỏa mãn \( - \dfrac{3}{2} < m < 4 - 2\sqrt 7 \) để phương trình đã cho có $4$ nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn giải:
Đặt \({x^2} = t\) $( t \ge 0)$ đưa phương trình (1) thành phương trình bậc $2$ với ẩn $t$ và tham số $m$.
Phương trình mới thu được: \({t^2} + mt + 2m + 3 = 0\) (2)
Để phương trình (1) có $4$ nghiệm phân biệt, thì phương trình (2) có $2$ nghiệm dương phân biệt.
Biện luận phương trình (2) theo tham số $m$ để có $2$ nghiệm dương phân biệt.
Giải thích thêm:
Các em có thể thay từng giá trị của $m$ ở đáp án vào phương trình để tìm nghiệm và chọn đáp án.
