Cho phương trình \({x^2} -mx + m - 1 = 0\), với \(m\) là tham số. Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình.

Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức \(A = \dfrac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)}}\) lần lượt là:

Ta có \(\Delta  = {m^2} - 4\left( {m - 1} \right) = {\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0\), với mọi \(m\).

Do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của \(m\).

Theo hệ thức Viet, ta có: \({x_1} + {x_2} = m\) và \({x_1}{x_2} = m - 1\)

Ta có: \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {m^2} - 2\left( {m - 1} \right) = {m^2} - 2m + 2\).

Suy ra \(A = \dfrac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)}} = \dfrac{{2m + 1}}{{{m^2} + 2}}\). Vì \(A - 1 = \dfrac{{2m + 1}}{{{m^2} + 2}} - 1 = \dfrac{{2m + 1 - {m^2} - 2}}{{{m^2} + 2}} =  - \dfrac{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}{{{m^2} + 2}} \le 0\) với mọi \(m \in \mathbb{R}\)

Suy ra \(A \le 1\) với mọi \( m \in \mathbb{R}\). Dấu “=” xảy ta khi và chỉ khi \(m = 1\) 

Và \(A + \dfrac{1}{2} = \dfrac{{2m + 1}}{{{m^2} + 2}} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{{2\left( {m + 1} \right) + {m^2} + 2}}{{2\left( {{m^2} + 2} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {m + 2} \right)}^2}}}{{2\left( {{m^2} + 2} \right)}} \ge 0\) với mọi \(m \in \mathbb{R}\)

Suy ra \(A \ge  - \dfrac{1}{2}\) với mọi \(m \in \mathbb{R}\). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(m =  - 2\).

Vậy GTLN của \(A\) bằng \(1\) khi \(m = 1\) và GTNN của \(A\) bằng \( - \dfrac{1}{2}\) khi \(m =  - 2\).