Cho phương trình \({x^2} - \left( {m - 1} \right)x - {m^2} + m - 2 = 0\), với \(m\) là tham số. Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là \({x_1},{x_2}\). Tìm \(m\) để biểu thức \(A = {\left( {\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^3} - {\left( {\dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^3}\) đạt giá trị lớn nhất.

+) Xét \(a.c =  - {m^2} + m - 2 =  - {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{3}{4} < 0\) với mọi \( m \in \mathbb{R}\)

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi \(m\).

+) Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là \({x_1},{x_2}\).

Vì phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu  nên \({x_1}{x_2} \ne 0\), do đó \(A\) được xác định với mọi \({x_1},{x_2}\).

Do \({x_1},{x_2}\) trái dấu nên \({\left( {\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^3} =  - t\) với \(t > 0\), suy ra \({\left( {\dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^3} < 0\), suy ra \(A < 0\)

Đặt \({\left( {\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^3} =  - t\), với \(t > 0\), suy ra \({\left( {\dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^3} =  - \dfrac{1}{t}\). Khi đó \(A =  - t - \dfrac{1}{t}\) mang giá trị âm và \(A\) đạt giá trị lớn nhất khi \( - A\) có giá trị nhỏ nhất.

Ta có \( - A = t + \dfrac{1}{t} \ge 2\) (BĐT Cô -si), suy ra \(A \le  - 2\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(t = \dfrac{1}{t} \Leftrightarrow {t^2} = 1 \Rightarrow t = 1\). Với \(t = 1\), ta có \({\left( {\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^3} =  - 1 \Leftrightarrow \dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} =  - 1 \Leftrightarrow {x_1} =  - {x_2} \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 0 \Leftrightarrow  - \left( {m - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow m = 1.\)

Vậy với \(m = 1\) thì biểu thức \(A\) đạt giá trị lớn nhất là \( - 2\).