Câu hỏi:
2 năm trước
Cho phương trình \({x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} + 1 = 0\), với \(m\) là tham số. Tìm tất cả các giá trị \(m \in \mathbb{Z}\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) sao cho biểu thức \(P = \dfrac{{{x_1}{x_2}}}{{{x_1} + {x_2}}}\) có giá trị là số nguyên.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Ta có \(\Delta = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 4m - 3\). Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{3}{4}\). Theo định lý Viet ta có: \({x_1} + {x_2} = 2m + 1\) và \({x_1}{x_2} = {m^2} + 1\). Do đó \(P = \dfrac{{{x_1}{x_2}}}{{{x_1} + {x_2}}} = \dfrac{{{m^2} + 1}}{{2m + 1}} = \dfrac{{2m - 1}}{4} + \dfrac{5}{{4\left( {2m + 1} \right)}}\). Suy ra \(4P = 2m - 1 + \dfrac{5}{{2m + 1}}\). Do \(m > \dfrac{3}{4}\) nên \(2m + 1 > 1\)
Để \(P \in \mathbb{Z}\) thì ta phải có \(\left( {2m + 1} \right)\) là ước của \(5\), suy ra \(2m + 1 = 5 \Leftrightarrow m = 2\)
Thử lại với \(m = 2\), ta được \(P = 1\) (thỏa mãn).
Vậy \(m = 2\) là giá trị cần tìm thỏa mãn bài toán.
Hướng dẫn giải:
+ Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt
+ Biến đổi \(P = \dfrac{{{x_1}{x_2}}}{{{x_1} + {x_2}}}\) để sử dụng hệ thức Vi-et đưa về biểu thức ẩn \(m\) để lập luận.
Câu hỏi khác
- Bài tập hàm số bậc hai một ẩn và đồ thị hàm số y=ax^2 toán 9 có lời giải
- Bài tập hệ thức vi-ét và ứng dụng toán 9 có lời giải
- Bài tập phương trình bậc hai một ẩn và công thức nghiệm toán 9 có lời giải
- Bài tập công thức nghiệm thu gọn toán 9 có lời giải
- Bài tập phương trình quy về phương trình bậc hai toán 9 có lời giải
