Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A’B’C’\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\), cạnh bên tạo với đáy một góc \({60^0}\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\) và \(I\) là trung diểm của \(AM\). Biết rằng hình chiếu của điểm \(I\) lên mặt đáy \(A’B’C’\) là trọng tâm \(G \) của tam giác \(A’B’C’.\) Thể tích khối lăng trụ là:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Gọi M’ là trung điểm của B’C’, \(K \in A'M'\) sao cho A’K = KG = GM’
Kẻ \(AH \bot A'M'\left( {H \in A'M'} \right) \Rightarrow AH \bot \left( {A'B'C'} \right) \Rightarrow A'H\)là hình chiếu vuông góc của AA’ trên (A’B’C’)
\( \Rightarrow \widehat {\left( {AA';\left( {A'B'C'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AA';AH} \right)} = \widehat {AA'H} = {60^0}\)
Ta có AHGI là hình chữ nhật nên
\(\begin{array}{l}AI = HG = \dfrac{1}{2}AM = \dfrac{1}{2}A'M';GM' = \dfrac{1}{3}A'M'\\ \Rightarrow A'H = A'M' - HG - GM' = A'M' - \dfrac{1}{2}A'M' - \dfrac{1}{3}A'M' = \dfrac{1}{6}A'M'\end{array}\)
Tam giác ABC đều cạnh a nên \({S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
\(A'M' = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow A'H = \dfrac{1}{6}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{{12}}\)
Xét tam giác vuông AA’H có: \(AH = AA'.\tan 60 = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{{12}}.\sqrt 3 = \dfrac{a}{4}\)
Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = AH.{S_{ABC}} = \dfrac{a}{4}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}\)
Hướng dẫn giải:
- Xác định góc \({60^0}\), tìm diện tích đáy, chiều cao suy ra thể tích khối lăng trụ.
Câu hỏi khác
- Bài tập thể tích khối chóp toán 12 có lời giải
- Bài tập thể tích lăng trụ, khối hộp toán 12 có lời giải
- Bài tập khối đa diện đều, phép vị tự toán 12 có lời giải
- Bài tập khái niệm về khối đa diện (sự bằng nhau của các khối đa diện) toán 12 có lời giải
- Bài tập khái niệm về khối đa diện toán 12 có lời giải
